Đề thi chọn đội tuyển HSG Olympic 30/4 lần thứ XX - 2014 Toán 10

  Thời gian 180 phút

Câu 1:

Giải hệ

{(x−y)2+x+y=y2x4−4x2y+3x2=−y2

Câu 2:

Cho góc nhọn BAx, điểm C di động trên tia Ax ( C khác A ). Gọi tiếp điểm của AC, BC với đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt là M, N. Chứng minh rằng MN đi qua 1 điểm cố định khi C di động

Câu 3:

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa a≥b≥c và a+b+c=3

Chứng minh rằng:

   ac+cb+3b≥5

Câu 4: 

Cho trước số nguyên tố p và số nguyên dương a với 1<a≤p−1. Giả sử:

A=∑k=0p−1ak. Chứng minh rằng với mọi ước nguyên tố q của A ta đều có q−1⋮p

Câu 5: 

Cả 3 năm học cấp 3, lớp T đã tổ chức 50 lần ngoại khóa, mỗi lẫn có hơn nửa số học sinh của lớp tham gia. Chứng minh rằng: Tồn tại 1 nhóm ko quá 5 học sinh mà mỗi lần ngoại khóa có ít nhất 1 học sinh nhóm tham gia

Câu 6: 

Tìm tất cả các hàm f:N∗→N∗ thỏa các điều kiện sau:

{f(n+1)>f(n)f(f(n))=n+2012 ∀n∈N∗